Vwayaj nan mond lan reyèl nan matematik

Mwen te ekri atik sa a nan youn nan anviwònman yo, apre yon konferans ak pratik nan yon kolèj nan syans enfòmatik. Mwen defann tèt mwen kont kritik elèv yo nan lekòl sa a, konesans yo, atitid yo anvè syans ak, sa ki pi enpòtan, konpetans ansèyman yo. Sa a... pèsonn pa anseye yo.

Poukisa mwen konsa defansiv? Pou yon rezon senp - mwen nan yon laj lè, pwobableman, mond lan bò kote nou yo poko konprann. Petèt m ap anseye yo pou yo itilize chwal yo, epi yo pa kondui yon machin? Petèt mwen aprann yo ekri ak yon plim plum? Malgre ke mwen gen yon pi bon opinyon sou yon moun, mwen konsidere tèt mwen "swiv", men...

Jiska dènyèman, nan lekòl segondè, yo te pale sou nimewo konplèks. Epi li te nan Mèkredi sa a ke mwen te vin lakay mwen, kite - prèske pa youn nan elèv yo poko aprann kisa li ye ak ki jan yo sèvi ak nimewo sa yo. Gen kèk gade nan tout matematik tankou yon zwa nan yon pòt ki pentire. Men, mwen te vrèman sezi tou lè yo te di m kijan pou m aprann. Senpleman mete, chak èdtan nan yon konferans se de èdtan nan devwa: li yon liv, aprann kijan pou rezoud pwoblèm sou yon sijè bay, elatriye. Èske w gen prepare nan fason sa a, nou rive nan egzèsis yo, kote nou amelyore tout bagay ... Agreman, elèv yo, aparamman, te panse ke chita nan konferans la - pi souvan gade deyò fenèt la - deja garanti antre nan konesans nan tèt la.

Sispann! Ase de sa. Mwen pral dekri repons mwen an nan yon kesyon mwen te resevwa pandan yon klas ak konpayon ki soti nan National Children's Fund, yon enstitisyon ki sipòte timoun ki gen talan nan tout peyi a. Kesyon an (oswa pito sijesyon an) te:

— Èske ou ta ka di nou yon bagay sou nimewo ki pa reyèl?

"Natirèlman," mwen reponn. 

Reyalite a nan nimewo

"Yon zanmi se yon lòt mwen, amitye se rapò nimewo 220 ak 284," te di Pythagoras. Pwen isit la se ke sòm divizè nimewo 220 la se 284, epi sòm divizè nimewo 284 se 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Byen pase, nou remake ke Jakòb biblik la te bay Ezaou 220 mouton ak belye kòm yon siy amitye (Jenèz 32:14). ).

Yon lòt konyensidans enteresan ant nimewo 220 ak 284 se sa a: disèt nonm premye ki pi wo yo se 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , ak 59.

Sòm yo se 2x220, ak sòm kare yo se 59x284.

Premye. Pa gen okenn konsèp nan "nombre reyèl". Se tankou apre ou fin li yon atik sou elefan, ou mande, "Koulye a, nou pral mande pou ki pa elefan." Gen antye ak ki pa antye, rasyonèl ak irasyonèl, men pa gen okenn ireyèl. Espesyalman: nimewo ki pa reyèl yo pa rele envalid. Gen anpil kalite "nimewo" nan matematik, epi yo diferan youn ak lòt, tankou - pran yon konparezon zoolojik - yon elefan ak yon vè tè.

Dezyèmman, nou pral fè operasyon ke ou ka deja konnen yo entèdi: èkstraksyon rasin kare nimewo negatif yo. Oke, matematik pral simonte baryè sa yo. Èske li fè sans menm si? Nan matematik, tankou nan nenpòt lòt syans, si yon teyori antre pou tout tan nan depo konesans la depann ... de aplikasyon li. Si li se initil, Lè sa a, li fini nan fatra a, Lè sa a, nan kèk fatra nan istwa a nan konesans. San nimewo yo ke mwen pale sou nan fen atik sa a, li enposib yo devlope matematik. Men, ann kòmanse ak kèk ti bagay. Ki sa ki nimewo reyèl, ou konnen. Yo ranpli liy nimerik la anpil epi san twou vid ki genyen. Ou konnen tou ki sa nonb natirèl yo ye: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...... - tout nan yo pa pral anfòm nan memwa menm pi gran an. Yo gen tou yon bèl non: natirèl. Yo gen anpil pwopriyete enteresan. Ki jan ou renmen sa a:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

Karl Lindenholm te di: “Li natirèl pou w enterese nan nonm natirèl yo,” te di, epi Leopold Kronecker (1823–1891) te di sa yon fason kout: “Bondye te kreye nimewo natirèl yo—tout lòt bagay se travay lèzòm!” Fraksyon (matematisyen yo rele nonm rasyonèl yo) gen pwopriyete etonan tou:

ak nan egalite:

ou ka, kòmanse nan bò gòch, fwote plis yo epi ranplase yo ak siy miltiplikasyon - ak egalite a ap rete vre:

Ak sou sa.

Kòm ou konnen, pou fraksyon a/b, kote a ak b se nonb antye relatif, ak b ≠ 0, yo di nimewo rasyonèl. Men, sèlman nan Polonè yo rele tèt yo sa. Yo pale angle, franse, alman ak ris. nimewo rasyonèl. Nan lang angle: nimewo rasyonèl. Nimewo irasyonèl li irasyonèl, irasyonèl. Nou menm tou nou pale Polonè sou teyori irasyonèl, lide ak zèv - sa a se bagay moun fou, imajinè, ineksplikab. Yo di ke fanm yo pè sourit - èske sa pa irasyonèl konsa?

Nan tan lontan, nimewo te gen yon nanm. Chak te vle di yon bagay, chak senbolize yon bagay, chak te reflete yon patikil nan amoni sa a nan Linivè, se sa ki, nan lang grèk, Cosmos la. Mo "Cosmos" la vle di egzakteman "lòd, lòd". Ki pi enpòtan yo te sis (nimewo pafè a) ak dis, sòm nimewo konsekitif 1 + 2 + 3 + 4, ki te fòme ak lòt nimewo, senbolis la ki te siviv jiska jodi a. Se konsa, Pitagò te anseye ke nimewo yo se kòmansman ak sous tout bagay, epi sèlman dekouvèt la nimewo irasyonèl vire mouvman Pitagoryen an nan direksyon jeyometri. Nou konnen rezònman nan lekòl sa

√2 se yon nonm irasyonèl

Pou sipoze ke gen: e ke fraksyon sa a pa ka redwi. An patikilye, tou de p ak q enpè. Ann kare: 2q²=p². Nimewo p a pa kapab enpè, depi lè sa a p² ta dwe tou, epi bò gòch egalite a se yon miltip 2. Kidonk, p se menm, sa vle di p = 2r, kidonk p²= 4r². Nou redwi ekwasyon 2q a²= 4r² pa 2. Nou jwenn q²= 2r² epi nou wè ke q dwe menm tou, sa nou te sipoze pa konsa. Kontradiksyon ki kapab lakòz la konplete prèv la - Ou ka jwenn fòmil sa a souvan nan chak liv matematik. Prèv sikonstans sa a se yon Trick pi renmen nan sofis yo.

Pitagoryen yo pa t 'kapab konprann imansite sa a. Tout bagay ta dwe kapab dekri pa nimewo, ak dyagonal la nan yon kare, ki nenpòt moun ka trase ak yon baton sou sab la, pa gen okenn, se sa ki, mezirab, longè. Pitagoryen yo sanble di: “Lafwa nou an te anven. Kòman sa? Se kalite... irasyonèl. Inyon an te eseye sove tèt li pa metòd sèktè. Nenpòt moun ki oze revele egzistans yo nimewo irasyonèl, te dwe pini pa lanmò, epi, aparamman, premye fraz la te pote pa mèt la li menm.

Men, "panse a te pase san danje." Laj an lò te rive. Moun Lagrès yo te bat Pès yo (Marathon 490, Blòk 479). Demokrasi te ranfòse, nouvo sant nan panse filozofik ak nouvo lekòl leve. Pitagoryen yo te toujou ap lite ak nimewo irasyonèl. Gen kèk ki t ap preche: nou p ap konprann mistè sa a; nou ka sèlman kontanple ak sezi nan Uncharted. Lèt yo te plis pragmatik epi yo pa t respekte Mistè a. Nan epòk sa a, te parèt de konstriksyon mantal ki te fè li posib pou konprann nimewo irasyonèl. Lefèt ke nou konprann yo ase byen jodi a fè pati Eudoxus (XNUMXyèm syèk BC), epi li se sèlman nan fen XNUMXyèm syèk la ke matematisyen Alman an Richard Dedekind te bay teyori Eudoxus bon devlopman an akò ak egzijans yo nan rijid. lojik matematik.

Mas nan figi oswa tòti

Èske ou ta ka viv san nimewo? Menm si sa lavi ta ye... Nou ta dwe ale nan magazen an achte soulye ak yon baton, ke nou te deja mezire longè pye a. "Mwen ta renmen pòm, ah, isit la li ye!" – nou ta montre vandè nan mache a. "Ki distans li ye ant Modlin ak Nowy Dwur Mazowiecki"? "Byen pre!"

Nimewo yo itilize pou mezire. Avèk èd yo, nou eksprime tou anpil lòt konsèp. Pou egzanp, echèl la nan kat la montre konbyen zòn nan nan peyi a te diminye. Yon echèl de-a-yon, oswa tou senpleman 2, eksprime lefèt ke yon bagay te double nan gwosè. Ann di matematikman: chak omojèn koresponn ak yon nimewo - echèl li yo.

Objektif Travay la. Nou te fè yon kopi xerographic, agrandi imaj la plizyè fwa. Lè sa a, fragman elaji a te elaji ankò b fwa. Ki echèl agrandisman jeneral la? Repons: a × b miltipliye pa b. Echèl sa yo bezwen miltipliye. Nimewo "moins yon" a, -1, koresponn ak yon presizyon ki santre, sa vle di vire 180 degre. Ki nimewo ki koresponn ak yon vire 90 degre? Pa gen nimewo sa a. Li ye, li ye... oswa pito, li pral byento. Èske w pare pou tòti moral? Pran kouraj epi pran rasin kare mwens youn. mwen tande? Kisa ou pa kapab? Apre yo tout, mwen te di ou yo dwe brav. Rale l deyò! Ey, byen, rale, rale... Mwen pral ede... Isit la: -1 Kounye a ke nou genyen li, ann eseye sèvi ak li... Natirèlman, kounye a nou ka ekstrè rasin yo nan tout nimewo negatif, pou egzanp.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Kèlkeswa kè sere mantal li genyen." Sa a se sa Girolamo Cardano te ekri nan 1539, ap eseye simonte difikilte mantal yo ki asosye ak - jan li byento te vin rele yo - kantite imajinè. Li te konsidere sa yo...

...Objektif Travay la. Divize 10 an de pati, pwodwi a se 40. Mwen sonje ke soti nan Episode anvan an li te ekri yon bagay tankou sa a: Sètènman enposib. Sepandan, ann fè sa: divize 10 an de pati egal, chak egal a 5. Miltipliye yo - li te tounen soti 25. Soti nan 25 ki kapab lakòz, kounye a soustraksyon 40, si ou renmen, epi ou jwenn -15. Koulye a, gade: √-15 ajoute ak soustraksyon nan 5 ba ou pwodwi 40. Sa yo se nimewo 5-√-15 ak 5 + √-15. Verifikasyon rezilta a te fèt pa Cardano jan sa a:

“Kèlkeswa doulè nan kè li genyen, miltipliye 5 + √-15 pa 5-√-15. Nou jwenn 25 - (-15), ki egal a 25 + 15. Se konsa, pwodwi a se 40 .... Li vrèman difisil."

Oke, konbyen se: (1 + √-1) (1-√-1)? Ann miltipliye. Sonje ke √-1 × √-1 = -1. Gwo. Koulye a, yon travay ki pi difisil: soti nan a + b√-1 rive nan ab√-1. sak pase? Sètènman, tankou sa a: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Ki sa ki enteresan sou sa a? Pou egzanp, lefèt ke nou ka faktorize ekspresyon ke nou "pa t 'konnen anvan." Fòmil miltiplikasyon abreje pou²-b² Èske w sonje fòmil la pou²+b² li pa t ', paske li pa t 'kapab. Nan domèn nonm reyèl, polinòm²+b² li se inevitab. Ann endike "nou" rasin kare "moins yon" ak lèt ​​i.²= -1. Li se yon nimewo premye "ireyèl". Epi se sa ki dekri yon vire 90 degre nan yon avyon. Poukisa? Apre tou,²= -1, ak konbine yon wotasyon 90-degre ak yon lòt wotasyon 180-degre bay yon wotasyon 45-degre. Ki kalite wotasyon yo dekri? Li evidan yon vire XNUMX degre. Ki sa -i vle di? Li se yon ti kras pi konplike:

(-mwen)² = -mwen × (-mwen) = +mwen² = -1

Se konsa, -i dekri tou yon wotasyon 90 degre, jis nan direksyon opoze a wotasyon mwen an. Kiyès ki rete ak kiyès ki dwat? Ou dwe pran yon randevou. Nou sipoze ke nimewo i espesifye yon wotasyon nan direksyon ke matematisyen konsidere pozitif la: nan sens goch. Nimewo a -i dekri wotasyon nan direksyon pwent yo ap deplase.

Men, èske nimewo tankou i ak -i egziste? Èske! Nou jis pote yo nan lavi. mwen tande? Ke yo egziste sèlman nan tèt nou? Oke kisa pou atann? Tout lòt nimewo tou egziste sèlman nan tèt nou. Nou bezwen wè si nimewo tibebe nou yo siviv. Plis jisteman, si konsepsyon an se lojik ak si yo pral itil pou yon bagay. Tanpri pran pawòl mwen pou li ke tout bagay an lòd e ke nouvo nimewo sa yo vrèman itil. Nimewo tankou 3+i, 5-7i, plis jeneralman: a+bi yo rele nonm konplèks. Mwen te montre w kouman ou ka jwenn yo lè w vire avyon an. Yo ka antre nan diferan fason: kòm pwen nan yon plan, kòm kèk polinòm, kòm kèk kalite etalaj nimerik ... epi chak fwa yo se menm bagay la: ekwasyon x la.² +1=0 pa gen okenn eleman... hocus pocus deja la!!!! Ann rejwi e ann rejwi!!!

Fen vwayaj

Sa a fini premye toune nou nan peyi a nan nimewo fo. Nan lòt nonb ki sou tè a, mwen pral mansyone tou sa yo ki gen yon kantite enfini chif devan, epi pa dèyè (yo rele yo 10-adik, pou nou p-adik yo pi enpòtan, kote p se yon nimewo premye), pou egzanp X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Ann konte X tanpri². Paske? E si nou kalkile kare yon nonm ki te swiv pa yon kantite enfini chif? Bon, ann fè menm jan an. Nou konnen ke x² = X.

Ann jwenn yon lòt nonb konsa ak yon kantite enfini chif devan ki satisfè ekwasyon an. Sijesyon: kare yon nonm ki fini an sis tou fini an sis. Kare yon nonb ki fini an 76 tou fini an 76. Kare yon nonm ki fini an 376 tou fini an 376. Kare yon nonb ki fini an 9376 tou fini an 9376. Kare yon nonm ki fini an XNUMX tou. XNUMX sou... Genyen tou nimewo ki tèlman piti ke, yo pozitif, yo rete pi piti pase nenpòt lòt nimewo pozitif. Yo tèlman piti ke pafwa li ase yo kare yo jwenn zewo. Gen nimewo ki pa satisfè kondisyon a × b = b × a. Genyen tou nimewo enfini. Konbyen nonm natirèl ki genyen? Enfiniman anpil? Wi, men konbyen? Ki jan sa ka eksprime kòm yon nimewo? Repons: pi piti nan nimewo enfini; li make ak yon bèl lèt: A epi konplete ak yon endèks zewo A₀ , aleph-zewo.

Genyen tou nimewo ke nou pa konnen ki egziste... oswa ke ou ka kwè oswa pa kwè jan ou vle. Epi pale de tankou: Mwen espere ou toujou renmen Reyèl Numbers, Fantasy Species Numbers.